1二次函数及其图像

　　二次函数(quadraticfunction)是指未知数的高次数为二次的多项式函数。二次函数可以表示为f(x)=ax^2bxc(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

　　一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　一般式

　　y=ax∧2；bxc(a≠0，a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a)；

　　顶点式

　　y=a(xm)∧2k(a≠0，a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2k(a≠0，a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；

　　交点式

　　y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线]；

　　重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a&gt；0时，开口方向向上，a&lt；0时，开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小，a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

　　牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)

　　y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1*x2)(y1为截距)

　　求根公式

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　x是自变量，y是x的二次函数

　　x1，x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

　　(即一元二次方程求根公式)

　　求根的方法还有因式分解法和配方法

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，

　　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

　　不同的二次函数图像

　　如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。

　　注意：草图要有1本身图像，旁边注明函数。

　　2画出对称轴，并注明X=什么

　　3与X轴交点坐标，与Y轴交点坐标，顶点坐标。抛物线的性质

　　轴对称

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

　　顶点

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，4ac-b^2；)/4a)

　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2；-4ac=0时，P在x轴上。

　　开口

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a&gt；0时，抛物线向上开口；当a&lt；0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　决定对称轴位置的因素

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时(即ab&gt；0)，对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a&lt；0，所以b/2a要大于0，所以a、b要同号

　　当a与b异号时(即ab&lt；0)，对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a&gt；0，所以b/2a要小于0，所以a、b要异号

　　可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab&gt；0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab&lt；0)，对称轴在y轴右。

　　事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

　　决定抛物线与y轴交点的因素

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于(0，c)

　　抛物线与x轴交点个数

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ=b^2-4ac&gt；0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ=b^2-4ac&lt；0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)

　　当a&gt；0时，函数在x=-b/2a处取得小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在{x|x&lt；-b/2a}上是减函数，在

　　{x|x&gt；-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变

　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2c(a≠0)

　　特殊值的形式

　　7.特殊值的形式

　　①当x=1时y=abc

　　②当x=-1时y=a-bc

　　③当x=2时y=4a2bc

　　④当x=-2时y=4a-2bc

　　二次函数的性质

　　8.定义域：R

　　值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b^2)/4a，

　　正无穷)；②[t，正无穷)

　　奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数。

　　周期性：无

　　解析式：

　　①y=ax^2bxc[一般式]

　　⑴a≠0

　　⑵a&gt；0，则抛物线开口朝上；a&lt；0，则抛物线开口朝下；

　　⑶极值点：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)；

　　⑷Δ=b^2-4ac，

　　Δ&gt；0，图象与x轴交于两点：

　　([-b-√Δ]/2a，0)和([-b√Δ]/2a，0)；

　　Δ=0，图象与x轴交于一点：

　　(-b/2a，0)；

　　Δ&lt；0，图象与x轴无交点；

　　②y=a(x-h)^2k[顶点式]

　　此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；

　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0)

　　对称轴X=(X1X2)/2当a&gt；0且X≧(X1X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a&gt；0且X≦(X1X2)/2时Y随X

　　的增大而减小

　　此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连

　　用)。

　　交点式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1X2值。

　　26.2用函数观点看一元二次方程

　　1.如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此就是方程的一个根。

　　2.二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。

　　26.3实际问题与二次函数

　　在日常生活、生产和科研中，求使材料省、时间少、效率高等问题，有些可归结为求二次函数的大值或小值。

（责任编辑：刘汉甜）